Moebiusband

Eine der vielfältigen Übungen im gestalterischen Grundlagenstudium, ist die Interpretation des Prinzips des klassischen Möbiusbandes. Die Ergebnisse dieser Aufgabe sollen räumliche Strukturen aufweisen, die mit den mathematischen Begriffen kontinuierlich (A) und diskontinuierlich (B) gekrümmte Fläche korrespondieren. Die beiden räumlichen Ausdehnungen sollen sich aufeinander beziehen. Form B soll aus Form A entwickelt werden. Das so entwickelte Möbiusband ergibt sich letztlich aus seiner raumgreifenden Gestalt des Kurvenverlaufs seiner einzigen Kante und deren einseitiger Fläche. Dabei spielt die Ausdehnung unter dem Aspekt der Minimalbedingung eine entscheidende Rolle. Die fertige Form soll den Betrachter einen deutlichen Einblick in das zugrunde liegende Prinzip des Moebiusbandes geben. Um die Aufgabe in einer gewissen logischen Abfolge zu lösen, sollten Sie sich über die wichtigsten Themen informieren.
 
- Grundprinzip des klassischen Möbiusbandes (einseitige Regelfläche)
- Ausdehnung im Raum unter dem Aspekt der Minimalbedingungen
- kontinuierlich gekrümmte Kurven, Flächen, Formen
- diskontinuierlich gekrümmte Kurven, Flächen, Formen

"Neue Erkenntnisse zur mathematischen Beschreibung eines Möbiusbands wurden im Jahr 2007 durch die Wissenschaftler E.L. Starostin und G.H.M. van der Heijden publiziert. Sie haben insbesondere die Form mathematisch berechnet."(1)
 
"Damit wird in der X-Y-Ebene ein Möbiusband mit einer Breite von 1 und einem Radius der Mittellinie von 1 um das Zentrum 0,0,0 erstellt. Der Winkel Alpha hat seinen Scheitel im Zentrum; während er sich ändert, führt die Variation von r zur Fläche, die sich zwischen der einzigen Kante spannt." Es entsteht eine nicht-orientierbare zweidimensionale Mannigfaltigkeit.
 
"Ausgangspunkt der Überlegungen von Starostin und van der Heijden war eines der wichtigsten Prinzipien der Physik:Systeme streben stets den energieärmsten Zustand an - so auch das Möbiusband. "Wir haben die energetischen Auswirkungen von Torsion und Krümmung berücksichtigt", erklärte van der Heijden. Den Forschen half, dass das Aussehen eines Möbiusbandes vollständig durch seine Mittellinie beschrieben werden kann."(2)

Kontinuierlich

Die Entstehung der kontinuierlichen Form des Moebiusbandes ist in seiner mathematischen Gesetzmäßigkeit zu sehen. Diese manifestiert sich in der Beschreibung der Mittellinie, dem Kurvenverlauf der einzigen Kante (Rand) und die sich daraus zwangsläufig entwickelnde einseitige Fläche, die sich nach den Kriterien des idealen energetischen Zustandes der Minimalfläche aufspannt. 

Dieses mathematische Idealmodell können wir als Gestalter als gegebene Invariante naturwissenschaftlicher Gesetzmäßigkeit im besten Sinne (an)erkennen, da auch viele für uns wichtige Gesetzmäßigkeiten der Gestaltung daraus abzuleiten sind:

 

Die Möglichkeiten, dass kontinuierliche Prinzip des Möbiusbandes als Grundlage einer eigenständigen gestalterischen Interpretation zu nutzen, sind vielfältig. Gleichwohl muss man klar machen, dass bei unserem Gestaltungsvorgang (Eingriff) in jedem Fall eine Komponente der idealen kontinuierlichen Form gestört wird. Zum Beispiel der ideale Verlauf der Mittellinie. Aber im Sinne der realen Gestaltung ist es natürlich wünschenswert, sich mit verschiedenen Materialien und symetrischen Formelementen dieser Idealform zu nähern.

Die Krümmung ist für die Charakteristik des Möbiusbandes wesentlich. Wenn man also von einer Krümmung spricht, so meint man damit gleichzeitig auch Kontinuität, die einem stetigen Anstieg oder Abstieg der Kurve gleichkommt.

Abgestufte Krümmungsradien
Krümmungskreis einer Kurve
Wenn r=0, Ecke-Kante

Dieser Zusammenhang ist in der Gleichung ρ(Roh)= 1 : r  stark vereinfacht zusammengefasst. Dabei wird der Radius des Krümmungskreises an einem beliebigen Punkt des Kurvenabschnittes dargestellt. Wenn eine Vielzahl dieser Punkte auf der Kurve in einer kontinuierlichen Abstandsfolge hintereinander und mit der kontinuierlichen Stufung der jeweiligen Radien in eine Beziehung gebracht werden, kann man diese Kurve unverwechselbar vollständig beschreiben. Wenn also r an mehreren aufeinanderfolgenden Kurvenpunkten stetig immer größer als 0 ist, dann ist eine konvexe oder konkave Kurven-Form vorhanden. Erst wenn r unendlich gegen 0 sinkt, entsteht an dieser Stelle der Kurve ein Knick  bzw. Lücke und wir haben eine diskontinuierliche Krümmung bzw. Fläche vorliegen. 

 

Demnach sprechen wir von einer kontinuierlichen Form des Moebiusbandes, wenn sich entlang eines Kurven-Randes in gleichgroßen Stufungen eine einseitige Fläche ohne diskontinuierliche Kante in dieser aufbaut und in der Lage ist, sich selbst nach dem Gesetz des energetischen Gleichgewichts auszurichten.


Diskontinuierlich
Wenn man davon ausgeht, das die Minimalbedingungen die ein Möbiusband definieren auch evident mit seiner räumlichen Ausdehnung ist, also seine reale Gestalt eigentlich letztlich darstellt, so sind Möbiusbänder von ihrem Wesen her kontinuierlich und nicht diskontinuierlich.
Wenn mann aber als Gestalter die reale experimentelle Herangehensweise zur Herstellung und auch fiktiven Anwendung eines Möbiusbandprinzipes in Betracht zieht, dann sind die diskontinuierliche Teilungen dafür wahrscheinlich geeigneter.
Als Beispiel eines recht umfanreichen Projektes, sei hier die Realisierung des Messestandes „Möbiusband“ des Fachbereiches Architektur der Technischen Universität Darmstadt, genannt.

 

Links:

 

http://de.wikipedia.org/wiki/Möbiusband#Topologie

http://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit

http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung

http://www.techno.architektur.tu-darmstadt.de

http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,495189,00.html

 

Quellen / Abbildungen:

 

- Prof. Cornelia Hentschel, Hochschule Wismar, Grundlagen der Gestaltung

- Technische Universität Dresden Institut für Geometrie 

- Technische Universität Darmstadt, Fachbereich 15 Architektur

- Wikipedia, Möbiusband